$u_n=\frac{1}{1.3}+\frac 1{2.4}+\frac 1{3.5}+...+\frac 1{(n-1)(n+1)}$$\Leftrightarrow2u_n=\frac{3-1}{1.3}+\frac{4-2}{4.2}+...+\frac{(n+1)-(n-1)}{(n+1)(n-1)}$
$\Leftrightarrow \frac 11-\frac 13+\frac 12-\frac 14+\frac 13-\frac 15+...+\frac 1{n-1}-\frac 1{n+1}$
$=1+\frac 12-\frac 1{n+1}$
$\Leftrightarrow u_n=\frac 32-\frac 1{2(n+1})$
$\Rightarrow \lim u_n=\frac 32$