bdt

Question

Chứng minh tam giác ABC đều khi và chỉ khi

$\frac{cosA.cosB}{cosC}+\frac{cosB.cosC}{cosA}+\frac{cosC.cosA}{cosB}=\frac{3}{2}$ [/quote]

tran85295 · Answer 1 · 11/12/2016 8:40:49 AM

Giả sử

$\widehat{A} \ge 60^o$

Bp 2 vế, pt đã cho tương đương :

$\sum \frac{\cos^2A\cos^2B}{\cos^2C}+2(\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C) = \frac 94$

Ta có

$\frac{\cos^2A\cos^2B}{\cos^2C}+\frac{\cos^2B\cos^2C}{\cos^2A} \ge 2 \cos^2B$

Tương tự suy ra

$\sum\frac{\cos^2A\cos^2B}{\cos^2C} \ge \cos^2A+\cos^2B+\cos^2C$

$\Rightarrow VT \ge 3(\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C)$

Ta cần chứng minh

$\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C \ge \frac 34$

$\Leftrightarrow 1-2\cos A \cos B \cos C \ge \frac 34$

$\Leftrightarrow 2\cos A\cos B\cos C \le \frac 14$

$\Leftrightarrow \cos A.\cos \left(\frac{B+C}2\right).\cos\left(\frac{ B-C}2\right) \le \frac 14$

$\Leftrightarrow \cos^2A.\cos\left( \frac{B-C}2\right) \le \frac 14$

Điều này luôn đúng do

$\cos A \le \frac 12$ và

$\cos \frac{B-C}{2} \le 1$

Vậy

$VT = VP\Leftrightarrow \triangle ABC$ đều

1 Đáp án