Cho a,b,c>0 Cm $\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\frac{b^2+c^2}{a^2+bc}+\frac{c^2+a^2}{b^2+ac}\geq 3$

Question

Cho a,b,c>0 Cm

$\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\frac{b^2+c^2}{a^2+bc}+\frac{c^2+a^2}{b^2+ac}\geq 3$

tran85295 · Answer 1 · 8/25/2016 9:53:52 PM

Dùng trực tiếp bdt cosi 3 số

Ta có

$VT\ge 3\sqrt[3]{\frac{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}{(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)}}$

Nên chỉ cần chỉ ra

$(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) \ge (a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)$

BDT này hiển nhiên đúng do theo cauchy-schwarz

$\left.\begin{matrix} (a^2+b^2)(c^2+b^2) \ge (b^2+ac)^2\\ (c^2+b^2)(c^2+a^2) \ge (c^2+ab)^2 \\ (c^2+a^2)(a^2+b^2) \ge (a^2+bc)^2\end{matrix}\right\}$

Nhân vế với vế ta có dpcm

Trả lời 25-08-16 09:53 PM

tran85295
36K 1 37 123

10M 559K

2 4

★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★ · Answer 2 · 8/25/2016 9:33:32 PM

Ta có:

$\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc} \geq \frac{3abc}{2abc}= \frac{3}{2}$

$\Rightarrow \frac{a^3+b^3+c^3}{2abc} \geq \frac{3}{2}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương :

$\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+\sum \frac{a^2+b^2}{c^2+ab} \geq \frac{9}{2}$

Links sau nhé : http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/137899/bdt-ne-mn-nhao-zo

Trả lời 25-08-16 09:33 PM

★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
11K 25 37

698K 307K

2 2

ko làm như vậy đc :)) – tran85295 25-08-16 09:46 PM

2 Đáp án