Áp dụng BDT $Cauchy$ ta có:$\sum \frac{a+b}{\sqrt[3]{a^3+abc}}\ge 3\sqrt[3]{\frac{\prod{(a+b)}}{\sqrt[3]{abc\prod(a^2+bc)}}}$
$=3\sqrt[9]{\frac{\prod{(a+b)^3}}{abc\prod(a^2+bc)}}=3\sqrt[9]{\frac{\prod{(a+b)^2(a+c)^2}}{abc\prod{(a+b)}\prod{(a^2+bc)}}}$
$=3\sqrt[9]{\frac{\prod(a^2+bc+a(b+c))^2}{abc\prod{(a+b)}\prod{(a^2+bc)}}}$
$\ge 3\sqrt[9]{\frac{\prod(4a(b+c)(a^2+bc))}{abc\prod{(a+b)}\prod{(a^2+bc)}}}=3\sqrt[3]{4}\implies Q.E.D$.
Tổng quát cho bài toán này:
Cho $a,b,c,p,k>0$. Chứng minh rằng:
$\sum \sqrt[p]{\frac{(a+b)^3}{a^3+kabc}}\ge 3\sqrt[p]{\frac{8}{1+k}}$