Giả sử $c \ge b \ge a$
$VT= \left[(a+b)^3-3ab(a+b) \right].\left[ a^3b^3+(a^3+b^3)c^3+c^6\right]$$\Leftrightarrow \left[(a+b)^3-3ab(a+b) \right].\left[ a^3b^3+[(a+b)^3-3ab]c^3+c^6\right]$
$\Leftrightarrow (x^3-3xy)\left(y^3+(x^3-3xy)c^3+c^6\right)$
Với $a+b=x,ab=y, y \in \left[0; \frac{x^2}4 \right]$
Xét $f(y)=(x^3-3xy)\left(y^3+(x^3-3xy)c^3+c^6\right)$ với $y \in \left[0; \frac{x^2}4 \right]$
$f'(y)=-3x\left[ c^6+2c^3x(x^2-3y)+y^2(4y-x^2)\right] $
$\le -3x\left[c^6+2c^3x(x^2-4y)+y^2(4y-x^2) \right]$
$=-3x\left[ c^6+(x^2-4y)(2c^3x-y^2)\right]$
Do $c^2 \ge y,xc \ge y\Rightarrow 2c^3x-y^2 \ge0\Rightarrow f'(y) \le 0$
$\Rightarrow f(y) \le f(0)=x^3(x^3c^3+c^6)=x^3c^3(x^3+c^3)$
$=f(x)=(k-x)^3x^3((k-x)^3+x^3)$
Khảo sát hàm 1 biến $f(x)$ trên $\left[ 0; \frac{2k}{3}\right]$ ta thu được kết quả trên.