BĐT Tổng quát(4)

Question

Cho các só

$a,b,c$ không âm thỏa mãn

$a+b+c=k$ .

CMR:

$(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})\leq \frac{k^{9}}{256}$

P/s:Trình bày bằng nhiều cách(nếu có thể)

Aerialace · Answer 1 · 8/14/2016 11:16:40 AM

Giả sử

$c \ge b \ge a$

$VT= \left[(a+b)^3-3ab(a+b) \right].\left[ a^3b^3+(a^3+b^3)c^3+c^6\right]$

$\Leftrightarrow \left[(a+b)^3-3ab(a+b) \right].\left[ a^3b^3+[(a+b)^3-3ab]c^3+c^6\right]$

$\Leftrightarrow (x^3-3xy)\left(y^3+(x^3-3xy)c^3+c^6\right)$

Với

$a+b=x,ab=y, y \in \left[0; \frac{x^2}4 \right]$

Xét

$f(y)=(x^3-3xy)\left(y^3+(x^3-3xy)c^3+c^6\right)$ với

$y \in \left[0; \frac{x^2}4 \right]$

$f'(y)=-3x\left[ c^6+2c^3x(x^2-3y)+y^2(4y-x^2)\right]$

$\le -3x\left[c^6+2c^3x(x^2-4y)+y^2(4y-x^2) \right]$

$=-3x\left[ c^6+(x^2-4y)(2c^3x-y^2)\right]$

Do

$c^2 \ge y,xc \ge y\Rightarrow 2c^3x-y^2 \ge0\Rightarrow f'(y) \le 0$

$\Rightarrow f(y) \le f(0)=x^3(x^3c^3+c^6)=x^3c^3(x^3+c^3)$

$=f(x)=(k-x)^3x^3((k-x)^3+x^3)$

Khảo sát hàm 1 biến

$f(x)$ trên

$\left[ 0; \frac{2k}{3}\right]$ ta thu được kết quả trên.

1 Đáp án