giải hệ phương trình???

Question

$\begin{cases}x^{2}y\left ( 1-\sqrt{1+y^{2}}\right )=x-\sqrt{1+x^{2}} \\ x+\sqrt{x^{2}+1}=x^{2}y\left ( 2+2\sqrt{4y^{2}+1}\right ) \end{cases}$

tritanngo99 · Answer 1 · 8/8/2016 8:01:25 PM

Xét

$x=0,$ thay vào

$pt(1)$ không là nghiệm của hệ phương trình. Vậy

$x\ne 0$ .

Khi đó chia mỗi vế của

$pt(1)$ cho

$x^2$ ta được:

$y-y\sqrt{1+y^2}=\frac{1}{x}-\sqrt{\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^2}}(3)$ .

Nhận xét:

$1-\sqrt{1+y^2}\le 0;2+2\sqrt{4y^2+1}>0(*)$ .

Lấy

$pt(2)-pt(1)$ ta được:

$x^2y(2+2\sqrt{4y^2+1})-x^2y(1-\sqrt{1+y^2})=2\sqrt{1+x^2}$

$\iff x^2y(1+2\sqrt{4y^2+1}+\sqrt{1+y^2})=2\sqrt{1+x^2}\implies y>0$ .

Lấy

$pt(2)+pt(1)$ ta được:

$x^2y(2+2\sqrt{4y^2+1})+x^2y(1-\sqrt{1+y^2})=2x$

$\iff x^2y(3+2\sqrt{4y^2+1}-\sqrt{1+y^2})=2x\implies x>0$

Khi đó

$(3)\iff y-\sqrt{y^2+y^4}=\frac{1}{x}-\sqrt{\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^2}}(4)$ .

Đến đây xét hàm

$f(t)=t-\sqrt{t^2+t^4}\forall t\in [0;+\infty)$

Ta có:

$f'(t)=1-\frac{2t^3+t}{\sqrt{t^2+t^4}}=1-\frac{2t^2+1}{\sqrt{1+t^2}}<0\text{ (CM bằng cách biến đổi tương đương)}$ .

$\implies f(t)$ nghịch biến trên

$[0;+\infty)$ .

Khi đó:

$(4)\iff y=\frac{1}{x}$ . Đến đây dễ rồi bạn tự giải tiếp nhé

phần này mình ra rồi nhưng thay vào ra nghiệm thì không biết chứng minh cái biểu thức còn lại vô nghiệm thế nào

1 Đáp án