giải bài toán khó này với mn ơi

Question

cho a,b,c là các số thực ko âm .CMR :

$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\frac{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

Confusion · Answer 1 · 8/7/2016 2:55:13 PM

Cách 2:

Compose by dangtrung

$\bigstar$ Nếu

$a\geq b\geq c\rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\geq ab^2+bc^2+ca^2$

$\rightarrow$ Theo

$Schur\rightarrow VT\geq a^3+b^3+c^3+3abc\geq VP$

$\bigstar$ Nếu

$a\leq b\leq c$

$BDT\Leftrightarrow f(a,b,c)=\Sigma (a-b)^2(a+b-c)-\frac{6abc(a-b)(b-c)(c-a)}{ab^2+bc^2+ca^2}\geq 0$

$\Leftrightarrow (ab^2+bc^2+ca^2)\Sigma (a-b)^2\geq 6abc(a-b)(b-c)(c-a)$

Mà:

$\left\{ \begin{array}{l} (a-b)^2\geq 4(b-c)(c-a)\\ 4(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 6bc(a-b)\end{array} \right.\Leftrightarrow 2(ab^2+bc^2+ca^2)+3b^2c\geq 3abc$

$\rightarrow$ Ta chỉ cần c/m trong TH

$a=0.$

Hay:

$b^2(b-c)+(b-c)^2(b+c)+c^2(c-b)\geq 0\Leftrightarrow 2(b+c)(b-c)^2\geq 0\rightarrow$ lđ

$\rightarrow$ đpcm...........

Confusion · Answer 2 · 8/7/2016 2:31:35 PM

Cách 1:

$\bigstar$ Nếu

$a\geq b\geq c\rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\geq ab^2+bc^2+ca^2$

$\rightarrow$ Theo

$Schur\rightarrow VT\geq a^3+b^3+c^3+3abc\geq VP$

$\bigstar$ Nếu

$c\geq b\geq a$

$BDT\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc+3abc(\frac{a^2b+b^2c+c^2a}{ab^2+bc^2+ca^2}-1)\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-6abc$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}(a+b+c)[\Sigma (a-b)^2]-\frac{3abc\Pi (a-b)}{ab^2+bc^2+ca^2}\geq \Sigma a(b-c)^2$

$\Leftrightarrow \Sigma \frac{1}{2}(a+b-c)(a-b)^2\geq \frac{3abc(a-b)(b-c)(c-a)}{ab^2+bc^2+ca^2}$

$\rightarrow$ Cần chứng minh:

$2\sqrt{ac}+c+a-b-\frac{3abc(c-a)}{ab^2+bc^2+ca^2}\geq 0$ ( theo

$S.O.C$ ~~~bla bla ~~~ )

Quy đồng, rút gọn, nhóm các số hạng với nhau đc BĐT tương đương là:

$2bc^2(\sqrt{ac}-a)+ab^2(c-b)+bc^2(c-a)+a^2c^2+a^2b^2+a^3c+2ab^2\sqrt{ac}+2ca^2\sqrt{ac}+2a^2bc\geq 0$

BĐT trên lđ do

$c\geq b\geq a$

$\rightarrow đpcm.......$

Đẳng thức khi

$a=b=c;a=b,c=0$ và các hoán vị.

Hỏi	06-08-16 10:27 AM
Lượt xem	1527
Hoạt động	07-08-16 02:55 PM

giải bài toán khó này với mn ơi

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

giải bài toán khó này với mn ơi

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan