y' =$4x^{3}+12x^{2}+6.(m+1)_.x$ Để hàm số đồng biến trên $(-\infty ;\frac{-1}{4})$
$\Leftrightarrow y' \leq 0 $ $\forall x < \frac{-1}{4}$
$\Leftrightarrow 4x^{3}+12x^{2}+6.(m+1).x\leq 0$ $\forall x < \frac{-1}{4}$
$\Leftrightarrow 6mx \leq -4x^{3}-12x^{2}-6x $ $\forall x<\frac{-1}{4} $
Do $x<\frac{-1}{4}$ nên :
$\Leftrightarrow m\geq \frac{-2x^{2}-6x-3}{3}$ $\forall x< \frac{-1}{4}$
Xét F(x) = $\frac{1}{3}.(-2x^{2}-6x-3)$ $\forall x < \frac{-1}{4}$
F'(x) = $\frac{1}{3}.(-4x-6)$
F'(x) = 0 $\Leftrightarrow x=\frac{-3}{2}$
Vẽ bảng biến thiên ta thấy F(x) đồng biến trên $(-\infty ;\frac{-3}{2})$ ; nghịch biến trên $(\frac{-3}{2};\frac{-1}{4})$; đạt Max = $\frac{1}{2}$ tại x = $\frac{-3}{2}$
$\Rightarrow m \geq \frac{1}{2}$