biện luận theo m

Question

Tìm m để hàm số $y=x^{4}+4x^{3}+3(m+1)x^{2}+2016$ nghịch biến trên $(-\infty ;\frac{-1}{4})$

Aerilate · Answer 1 · 7/20/2016 9:39:04 PM

y' =

$4x^{3}+12x^{2}+6.(m+1)_.x$

Để hàm số đồng biến trên

$(-\infty ;\frac{-1}{4})$

$\Leftrightarrow y' \leq 0$

$\forall x < \frac{-1}{4}$

$\Leftrightarrow 4x^{3}+12x^{2}+6.(m+1).x\leq 0$

$\forall x < \frac{-1}{4}$

$\Leftrightarrow 6mx \leq -4x^{3}-12x^{2}-6x$

$\forall x<\frac{-1}{4}$

Do

$x<\frac{-1}{4}$ nên :

$\Leftrightarrow m\geq \frac{-2x^{2}-6x-3}{3}$

$\forall x< \frac{-1}{4}$

Xét F(x) =

$\frac{1}{3}.(-2x^{2}-6x-3)$

$\forall x < \frac{-1}{4}$

F'(x) =

$\frac{1}{3}.(-4x-6)$

F'(x) = 0

$\Leftrightarrow x=\frac{-3}{2}$

Vẽ bảng biến thiên ta thấy F(x) đồng biến trên

$(-\infty ;\frac{-3}{2})$ ; nghịch biến trên

$(\frac{-3}{2};\frac{-1}{4})$ ; đạt Max =

$\frac{1}{2}$ tại x =

$\frac{-3}{2}$

$\Rightarrow m \geq \frac{1}{2}$

1 Đáp án