Áp dụng trực tiếp bdt AM-GM 3 số cho vế tráisuy ra ta chỉ cân c/minh (a+b)(b+c)(c+a)≥(a+bc)(b+ca)(c+ab)
Áp dụng bdt xyz≤(x+y)(y+z)(z+x)8 cho vế phải
⇒(a+bc)(b+ca)(c+ab)≤(a+b+ac+bc)(b+c+ab+ca)(c+a+ab+bc)8
=(a+b)(b+c)(c+a)(1+a)(1+b)(1+c)8
Mặt khác (1+a)(1+b)(1+c)8≤(1+a+1+b+1+c)38.27=1
Do đó (a+bc)(b+ca)(c+ab)≤(a+b)(b+c)(c+a)
suy ra dpcm