$\color{blue}{BÀI:1:CMR:\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geq3(x^2+y^2+z^2),x,y,z }$ :là các số thức dương $:x+y+z=1.$

Question

$\color{blue}{BÀI:1:CMR:\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geq3(x^2+y^2+z^2),x,y,z }$ :là các số thức dương

$:x+y+z=1$

$\color{green}{BÀI:2:x,y,z>0,x+y+z=3.CMR:\frac{x^4}{(y+z)(y^2+z^2)}+\frac{y^4}{(x+z)(x^2+z^2)}+\frac{z^4}{(x+y)(y^2+x^2)}\geq \frac{3}{4}}$

tran85295 · Answer 1 · 6/20/2016 6:11:08 PM

Bình chọn tăng 9 Bình chọn giảm

KMTTQ, giả sử

$x \ge y \ge z$

Khi đó

$\frac{x}{y+z} \ge \frac{y}{z+x} \ge \frac{z}{x+y},\frac{x^2}{y^2+z^2} \ge \frac{y^2}{z^2+x^2} \ge \frac{z^2}{x^2+y^2}$

Áp dụng bdt Chebychev cho 3 dãy đơn điệu cùng chiều, ta có

$9\left(x.\frac{x}{y+z}.\frac{x^2}{y^2+z^2}+y.\frac{y}{z+x}.\frac{y^2}{z^2+x^2}+z.\frac{z}{x+y}.\frac{z^2}{x^2+y^2} \right)\\ \ge (x+y+z)\left( \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \right)\left( \frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2} \right) \\\overset{Nesbit}\ge 3.\frac 32.\frac 32\Leftrightarrow VT \ge \frac 34$

Đẳng thức xảy ra

$\Leftrightarrow x=y=z=1$

Trả lời 20-06-16 06:11 PM

tran85295
36K 1 37 123

10M 559K

2 4

oh,a ơi,e đã học bđt chebychev đâu,a lm bài này = bunhia dạng pân thức đc k? – ๖ۣۜTQT☾♋☽ 21-06-16 06:25 AM

tran85295 · Answer 2 · 6/20/2016 3:56:25 PM

Bình chọn tăng 8 Bình chọn giảm

1) Đưa bdt về chứng minh

$\left( \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} \right)(x+y+z) \ge 3(x^2+y^2+z^2)$

$\Leftrightarrow \frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}+\frac{x^2z}{y}+\frac{y^2x}{z}+\frac{z^2y}{x} \ge 2(x^2+y^2+z^2)$

Dễ dàng chứng minh

$\frac{x^2z}{y}+\frac{y^2x}{z}+\frac{z^2y}{x} \ge xy+yz+zx$

Từ đó áp dụng bdt cosi 3 cặp số => dpcm

Trả lời 20-06-16 03:56 PM

tran85295
36K 1 37 123

10M 559K

2 4

[_đéo_có_tên_] · Answer 3 · 6/20/2016 2:50:09 PM

Bình chọn tăng 9 Bình chọn giảm

bài 2

$\frac{2x^{4}}{(x+y)(x^{2}+y^{2})}=x-y+\frac{x^{4}+y^{4}}{(x+y)(x^{2}+y^{2})}\geq x-y+\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{2(x+y)(x^{2}+y^{2})}$

$\geq x-y+\frac{x^{2}+y^{2}}{2(x+y)}\geq x-y+\frac{(x+y)^{2}}{2.2(x+y)}=x-y+\frac{1}{4}(x+y)$

tương tự và cộng lại ta đc $2VT\geq \frac{3}{2}\Rightarrow dpcm$

Trả lời 20-06-16 02:50 PM

[_đéo_có_tên_]
7K 1 16 62

87K 273K

@@.................. – ๖ۣۜTQT☾♋☽ 21-06-16 06:24 AM

hờ hờ tôi ko để ý nên nhầm rồi....sorry ae...=_=! – [_đéo_có_tên_] 20-06-16 03:54 PM

thank kiu!! – ๖ۣۜTQT☾♋☽ 20-06-16 03:02 PM

Hỏi	20-06-16 08:15 AM
Lượt xem	2097
Hoạt động	28-05-17 01:45 AM

$\color{blue}{BÀI:1:CMR:\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geq3(x^2+y^2+z^2),x,y,z }$ :là các số thức dương $:x+y+z=1.$

3 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

BÀI:1:CMR:x2y+y2z+z2x≥3(x2+y2+z2),x,y,z\color{blue}{BÀI:1:CMR:\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geq3(x^2+y^2+z^2),x,y,z }:là các số thức dương :x+y+z=1.:x+y+z=1.

3 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan

$\color{blue}{BÀI:1:CMR:\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geq3(x^2+y^2+z^2),x,y,z }$ :là các số thức dương $:x+y+z=1.$