Đặt biểu thức vế trái là PGiả sử a=max, khi đó a\ge 1,b+c \le 2\Leftrightarrow bc \le 1
Ta sẽ chứng minh P \ge 2a+\frac{(b+c)^2}{4a}+\frac{a(b+c)^2}{16}
\Leftrightarrow \Bigg( \frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}-2a\Bigg)+ \Bigg(\frac{bc}{a}-\frac{(b+c)^2}{4a} \Bigg)+ \Bigg(\frac{9abc}{4}-\frac{9a(b+c)^2}{16} \Bigg) \ge0
\Leftrightarrow \frac{a(b-c)^2}{bc}-\frac{(b-c)^2}{4a}-\frac{9a(b-c)^2}{16} \ge0
\Leftrightarrow (b-c)^2 \Bigg(\frac{a}{bc}-\frac{1}{4a}- \frac{9a}{16}\Bigg) \ge0
Ta chỉ cần cm \frac{a}{bc}-\frac{1}{4a}- \frac{9a}{16} \ge0\Leftrightarrow a\Bigg(\frac{1}{bc}-\frac{9}{16}\Bigg) \ge \frac 1{4a}
\Leftrightarrow 4a^2\Bigg(\frac{1}{bc}-\frac{9}{16}\Bigg) \ge 1 ( đúng do a^2 \ge 1,\frac{1}{bc}-\frac{9}{16} \ge 1-\frac 9{16}=\frac 7{16})
\Rightarrow P \ge 2a+\frac{(3-a)^2}{4a}+\frac{9a(3-a)^2}{16}
Mà 2a+\frac{(3-a)^2}{4a}+\frac{9a(3-a)^2}{16} \ge \frac{21}4\Leftrightarrow (x-1)^2(x-2)^2 \ge0 (luôn đúng)
Vậy \min P=\frac{21}4 khi a=b=c=1;a=2,b=c=\frac 12 và các hoán vị