Đặt biểu thức vế trái là PGiả sử a=max{a,b,c}, khi đó a≥1,b+c≤2⇔bc≤1
Ta sẽ chứng minh P≥2a+(b+c)24a+a(b+c)216
⇔(abc+acb−2a)+(bca−(b+c)24a)+(9abc4−9a(b+c)216)≥0
⇔a(b−c)2bc−(b−c)24a−9a(b−c)216≥0
⇔(b−c)2(abc−14a−9a16)≥0
Ta chỉ cần cm abc−14a−9a16≥0⇔a(1bc−916)≥14a
⇔4a2(1bc−916)≥1( đúng do a2≥1,1bc−916≥1−916=716)
⇒P≥2a+(3−a)24a+9a(3−a)216
Mà 2a+(3−a)24a+9a(3−a)216≥214⇔(x−1)2(x−2)2≥0 (luôn đúng)
Vậy minP=214 khi a=b=c=1;a=2,b=c=12 và các hoán vị