Đường đến Olympic toán quốc tế......

Question

$\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc}\leq max ((\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2};(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2};(\sqrt{c}-\sqrt{a})^{2})$

Confusion · Answer 1 · 6/2/2016 1:37:27 PM

Dùng phản chứng để chứng minh:

G/s đpcm là sai, do vậy, ta có:

$\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc}>a+b-2\sqrt{ab}$

$\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc}>b+c-2\sqrt{bc}$

$\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc}>c+a-2\sqrt{ca}$

Cộng lại có:

$a+b+c-3\sqrt[3]{abc}>2[(a+b+c)-(\Sigma \sqrt{ab})]$

$\rightarrow$ Ta cần c/m:

$a+b+c-3\sqrt[3]{abc}\leq 2[(a+b+c)-(\Sigma \sqrt{ab}]$

Vì BĐT trên là thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa, cho

$abc=1.$

Khi đó BĐT trở thành:

$2(\Sigma \sqrt{ab})-a-b-c\leq 3$

Theo bác Schur, ta luôn có,

$\forall x,y,z>0$ thì:

$2(\Sigma xy)-x^2-y^2-z^2\leq \frac{9xyz}{x+y+z}\leq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$

$\Rightarrow ....................$

Trả lời 02-06-16 01:37 PM

Confusion
24K 2 58 167

164K 882K

8 4

==". cmt đủ chưa??? vote cái ==", ông bị huỷ quyền vote up ak?? ==" – Confusion 02-06-16 08:49 PM

đúng r, <= max thì chỉ cần <= trung bình cộng là đủ -_-! ngu người quá – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 02-06-16 03:18 PM

1 Đáp án