Giả sử c=min. Khi đó ab \ge 1\Rightarrow \frac1{a^2+1}+\frac 1{b^2+1} \ge \frac{2}{ab+1}
Nên chỉ cần cm \frac{2}{ab+1}+\frac 1{c^2+1} \ge \frac 32
\Leftrightarrow2\left[2(c^2+1)+(ab+1) \right]\ge 3(ab+1)(c^2+1)
\Leftrightarrow 4c^2+4+2ab+2 \ge 3abc^2+3ab+3c^2+3
\Leftrightarrow c^2+3 \ge 3abc^2+ab
\Leftrightarrow c^2+bc+ca \ge 3abc^2
\Leftrightarrow c(a+b+c-3abc) \ge0
Bất đẳng thức cuối luôn đúng do (a+b+c)(ab+bc+ca) \ge 9abc\Leftrightarrow a+b+c \ge 3abc
Vậy ta có dpcm
Đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow a=b=c=1