$(1)\leftrightarrow 5y.x^2-2(2y^2+1)x+(3y^2-2y)=0$
$\rightarrow \Delta 'x=(2y^2+1)^2-(3y^2-2y).5y=-11y^4+14y^2+1$
Rõ ràng $\Delta 'x$ là không chính phương nên chắc chắn ta có thể khẳng định phương trình 1 không thể phân tích thành nhân tử. rõ ràng việc xét hàm đối với phương trình (1) cũng không thể được. Do đó, ta có vài sự lựa chọn sau
+ Kết hợp với phương trình (2) cộng đại số để đựa về phân tích thành tích được
+ không sử dụng PP phân tích mà sử dụng phương pháp khác như bđt chẳng hạn
+ Phương trình 2 có thể xử lý được
Trong 3 hướng đi trên, hướng đi nào đơn giản ta làm trước. Dĩ nhiên là hướng thứ 3, do x,y đối xứng nên ta cứ đưa thử về tổng $x+y=a, xy=b$ .
$b(a^2-2b)+2=a^2$
Ở đây ta có thể rút $a^2$ theo $b$:
$2b^2+2=a^2-b.a^2$
$\rightarrow a^2(b-1)=2b^2-2$
Rõ ràng đến đây các em có thể thấy ngay có nhân tử $b-1$ chính là $xy-1$ do đó ta có lời giải chi tiết như sau
Lời Giải Chi Tiết:
Ta có:
$(2)\leftrightarrow (xy-1)(x^2+y^2-2)=0\Leftrightarrow xy=1 | x^2+y^2=2$
Với $xy=1$ từ $(1)\Rightarrow y^4-2y^2+1=0\Leftrightarrow y=\pm 1 \Rightarrow (x,y)=(1,1);(-1,-1)$
Với $x^2+y^2=2$ từ $(1) \Rightarrow 3y(x^2+y^2)-4xy^2+2x^2y-2(x+y)=0 \Leftrightarrow 6y-4xy^2+2x^2y-2(x+y)=0 \Leftrightarrow (1-xy)(2y-x)=0 \Leftrightarrow xy=1| x=2y$
với $x=2y$ từ $x^2+y^2=2 \Rightarrow (x,y)=(\frac{2\sqrt{10}}{5},\frac{\sqrt{10}}{5});(\frac{-2\sqrt{10}}{5},\frac{-\sqrt{10}}{5})$
Vậy Phương trình có các nghiệm $(x,y)=.....$
Mời mọi người đưa ra lời giải khác bình luận và chém gió...