Giả sử $\sqrt{7}$ không phải số vô tỉ suy ra:
tồn tại số m và n sao cho căn $7 =\frac{m}{n} $ (m,n là nguyên tố cùng nhau)
khi đó $7n^2=m^2$
=> m chia hết 7, đặt m=7p ( p là số nguyên)
thay m=7p ta có
$7n^2=49p^2$
$n^2=7p^2$
=> n chia hết cho 7
=> m và n cùng chia hết cho 7
mâu thuẫn với giả thiết ban đầu , $\frac{m}{n}$ tối giản , m,n là nguyên tố cùng nhau
=> $\sqrt{7}$ là số vô tỉ