đã từng thi rồi nè....kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức...chọn điểm rơi...!?

Question

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=5(a+b+c)-2ab$

tìm min của:

$A=a+b+c+48(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}})$

ủng hộ mình nha...!?

Bloody's Rose · Answer 1 · 4/17/2016 6:13:00 PM

gt

$\Leftrightarrow$

$2\left[ {(a+b-\frac{5}{2})^{2}+(c-\frac{5}{2})^{2}} \right] =25$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

$25\geq (a+b+c-5)^{2}$

$\Rightarrow$

$a+b+c\leq10$

Ta có:

$A=a+b+c+48(\frac{12}{2.\sqrt{12}.\sqrt{a+10}}+\frac{12}{3.2.2.\sqrt[3]{b+c}})$

Áp dụng BĐT Cauchy:

$2.\sqrt{12}.\sqrt{a+10} \leq a+22$

$3.2.2.\sqrt[3]{b+c}\leq b+c+16$

$\Rightarrow$

$\frac{12}{2.\sqrt{12}.\sqrt{a+10}}+\frac{12}{3.2.2.\sqrt[3]{b+c}}\geq \frac{12}{a+22}+\frac{12}{b+c+16}\geq \frac{48}{a+b+c+38}$

$\Rightarrow$

$A\geq a+b+c+\frac{48^{2}}{a+b+c+38}$

Đặt

$t=a+b+c$ ,

$0<t\leq10$

$\Rightarrow$

$A\geq t+\frac{48^{2}}{t+38}=f(t)$

BBT

$\Rightarrow$

$A\geq58$

Dấu''='' xra

$\Leftrightarrow$

$a=2;b=3;c=5$

1 Đáp án