Vì bđt có dạng thuần nhất nên chuẩn hóa a+b+c=1VT=∑a25a2+(1−a)2=∑a26a2−2a+1
∗TH1:min
Ta có \frac{a^2}{6a^2-2a+1} \le \frac{12a-1}{27}\Leftrightarrow (3x-1)^2(8x-1) \ge 0 (luôn đúng )
Thiết lập tương tự \Rightarrow VT \le\frac{12(a+b+c)-3}{27}= \frac 13
\boxed{*TH2 : \min \{a,b,c\} \le \frac 18}
Giả sử c= \min \{a,b,c\}\Rightarrow 0 \le c \le \frac 18
Ta có \frac{a^2}{6a^2-2a+1} \le \frac{4a+1}{18}\Leftrightarrow (2x-1)^2(6x+1) (luôn đúng )
Thiết lập tương tự \Rightarrow \frac{b^2}{6b^2-2b+1} \le \frac{4b+1}{18}
\Rightarrow VT \le \frac{4(a+b)+2}{18}+\frac{c^2}{6c^2-2c+1}
= \frac{-2c+3}{9}+\frac{c^2}{6c^2-2c+1}
=\frac{-12c^3+31c^2-8c+3}{9(6c^2-2c+1)}
Mà \frac{-12c^3+31c^2-8c+3}{9(6c^2-2c+1)} \le \frac 13\Leftrightarrow c(12c^2-13c+2) \ge 0 (đúng \forall c \in [0;\frac 18])
Vậy bđt đc chứng minh, đẳng thức xảy ra khi \boxed{a=b=c};\boxed{a=b,c=0} hoặc các hoán vị