$\color{green}{\mathbb F = 4.\sqrt[3]{\frac{2a}{7a^2+3b^2+6c}}+4.\sqrt[3]{\frac{2b}{7b^2+3c^2+6a}}+\frac{abc^2}{a+b+c}}$

Question

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$\mathbb F = 4.\sqrt[3]{\frac{2a}{7a^2+3b^2+6c}}+4.\sqrt[3]{\frac{2b}{7b^2+3c^2+6a}}+\frac{abc^2}{a+b+c}$

Nguyễn Nhung · Answer 1 · 6/16/2016 12:01:46 AM

Nhận xét: Từ bài toán ta thấy dấu bằng xảy ra khi $a = b = c = 1$ . Và biểu thức P ta sẽ biến đổi và đánh giá 2 căn thức đầu tiên sao cho có thể "có hình thức giống " biểu thức thứ 3.Vây ta sẽ cô gắng làm sao cho :

$\sqrt[3]{\frac{2 a}{7 a^{2} + 3 b^{2} + 6 c}} \leq A + \frac{a}{a + b + c} (A : c o n s t)$

Trong đó $A$ là hằng số sao cho dấu bằng xảy ra.

Vậy ta có thể đánh giá như thế nào để được ? Ta có thể nghĩ theo hướng sau :Mẫu ở biểu thức cuối cùng là $a^{1} + b^{1} + c^{1}$ còn mẫu ở các biểu thức cần đánh giá $7 a^{2} + 3 b^{2} + 6 c$ . Vây tự nhiên và đơn giản nhất ta sẽ dùng $a^{2} + 1 \geq 2 a$ .Ở dạng phân thức có nhiều BĐT để đánh giá , ở đây mình dùng $\frac{1}{a + b} \leq \frac{1}{4} . (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}),$ cùng với cân bằng hệ số để có điểm rơi, cụ thể :