Không mất tính tổng quát, giả sử x=maxVì xyz =1\Rightarrow x \ge 1
P=\frac{\sqrt x}{1+x+xy}+\frac{\sqrt y.x}{(1+y+yz).x}+\frac{\sqrt z.xy}{(1+z+xz).xy}
=\frac{\sqrt x+\sqrt yx+\sqrt zxy}{1+x+xy}=\frac{\sqrt x+\sqrt yx+\sqrt{xy}}{xy+(x+1)} \le \frac{\sqrt x+\sqrt yx+\sqrt{xy}}{xy+2\sqrt x}
Ta chứng minh \frac{\sqrt x+\sqrt yx+\sqrt{xy}}{xy+2\sqrt x} \le 1(*)
Thật vậy (*)\Leftrightarrow \sqrt x +\sqrt yx +\sqrt{xy} \le 2\sqrt x +xy
\Leftrightarrow y\sqrt x+1-\sqrt y-\sqrt {xy} \ge 0\Leftrightarrow (\sqrt y-1)(\sqrt{xy}-1) \ge 0 (luôn đúng do x \ge 1)
Nên P \le 1\Leftrightarrow P_{Max}=1. Dấu = xảy ra khi x=y=z=1