Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương:$1+3x=1+\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$$\geq$7$\sqrt[7]{\frac{x^{6}}{2^{6}}}$(1)
$x+8y=x+\frac{4y}{3}$+$\frac{4y}{3}$+$\frac{4y}{3}$+$\frac{4y}{3}$+$\frac{4y}{3}$+$\frac{4y}{3}$$\geq$7$\sqrt[7]{xy^{6}.\frac{4^{6}}{3^{6}}}$(2)
$y+9z=y+\frac{3z}{2}$+$\frac{3z}{2}$+$\frac{3z}{2}$+$\frac{3z}{2}$+$\frac{3z}{2}$+$\frac{3z}{2}$$\geq$7$\sqrt[7]{yz^{6}.\frac{3^{6}}{2^{6}}}$(3)
$z+6=z+1+1+1+1+1+1\geq7\sqrt[7]{z}(4)$
Nhân từng vế của $(1)(2)(3)(4)$
$\Rightarrow VT\geq7^{4}.xyz\Rightarrow$đpcm