$5x^{3}+3x^{2}+3x-2=(x^{2}+x+1)(5x-2)$$x^{2}+x+1=(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}>0\Rightarrow 5x^{3}+3x^{2}+3x-2\geqslant 0\Leftrightarrow 5x-2\geqslant 0\Leftrightarrow x\geqslant \frac{5}{2}$
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số:$x^{2}+x+1 và 5x-2$
Ta có:$\sqrt{(x^{2}+x+1)(5x-2)}\leqslant \frac{(x^{2}+x+1)(5x-2)}{2}=\frac{x^{2}}{2}+3x-\frac{1}{2}$
Dấu"-"xảy ra$\Leftrightarrow x^{2}+x+1=5x-2$
Vậy nghiệm của pt là x=1 hoặc x=3