ta có :
biểu thức sẽ tương đương với biểu thức sau:
$\frac{b}{sinB}tanB+\frac{c}{sinC}tanC=\frac{a}{sinA}.\frac{sinA}{sinB.sinC}$
$\Leftrightarrow tanB+tanC=\frac{sinA}{sinB.sinC}$ (vì $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=r)$
$\Leftrightarrow \frac{sinBcosC+cosBsinC}{cosBcosC}=\frac{sin(\pi -(B+C))}{sinBsinC}$
$\Leftrightarrow \frac{sin(B+C)}{cosBcosC}=\frac{sin(B+C)}{sinBsinC}$
$\Leftrightarrow cosBcosC-sinBsinC=0$ (vì $sin(B+C)\neq 0)$
$\Leftrightarrow cos(B+C)=0\Leftrightarrow A=\frac{\pi }{2}$
hay biểu thức đầu bài thỏa mãn khi và chỉ khi $\Delta ABC$ vuông tại A.