$P \ge \frac 34\Leftrightarrow \frac{a(c+1)+b(a+1)+c(b+1)}{(a+1)(b+1)(c+1)} \ge \frac 34$$\Leftrightarrow (ab+bc+ca+a+b+c).4 \ge 3[abc+(ab+bc+ca)+(a+b+c)+1]$
$\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c \ge 3abc+3$
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)+(a+b+c) \ge 6 $ ( đúng theo bđt cô si)