$\forall t \in \mathbb{Z}$, ta có :Nếu $t$ $\vdots$ $5$ $\Rightarrow$ $t^5$ $\vdots$ $5$
$t \equiv1(mod5)$ $\Rightarrow t^5 \equiv 1(mod5)$
$t \equiv 2(mod5)$, đặt $t=5y+2\Rightarrow t^2=25y^2+20y+4 \equiv 4(mod5)\Rightarrow t^4 \equiv 1(mod5)\Rightarrow t^5 \equiv2 (mod5)$
Tương tự, $t \equiv3(mod5)$ $\Rightarrow t^5 \equiv 3(mod5)$, $t \equiv4(mod5)$ $\Rightarrow t^5 \equiv 4(mod5)$
Nên $a^5+b^5+c^5+d^5+e^5$ sẽ có cùng số dư với $a+b+c+d+e$ khi chia cho 5
$\Rightarrow đpcm$