Đường thẳng $d_{1}$ có vtpt là $\overrightarrow{n_{1}}=(1;3)$
Đường thẳng qua tâm $I$ và vuông góc với cạnh $d_{1}$ có vtpt là $\overrightarrow{n_{2}}=(3;-1)$. Do đó có phương trình là $3x-y+6=0$.
Giao điểm $H$ của $d_{1}$ và đường thẳng đó có tọa độ là nghiệm của hệ: $\begin{cases}x+3y-3=0 \\3x-y+6=0\end{cases}$. Giải hệ ta được $H\left( -\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right)$
$H'$ nằm đối xứng với $H$ qua $I$ nên $HH'$ nhận $I$ làm trung điểm. Khi đó $\begin{cases}-2=\dfrac{-\dfrac{3}{2}+x_{H'}}{2} \\ 0=\dfrac{\dfrac{3}{2}+y_{H'}}{2}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x_{H'}=-\dfrac{5}{2} \\ y_{H'}=-\dfrac{3}{2}\end{cases}$. Do đó $H'\left(\dfrac{-5}{2}; \dfrac{-3}{2}\right)$
$H'$ nằm trên cạnh song song với cạnh $d_{1}$ của hình vuông nên cạnh này có pt: $d_{2}: x+3y+4=0$.
Đỉnh $A$ nằm trên $d_{1}$ thì $IH=HA$. Gọi $A(x;y)$ thì $IH^{2}=\dfrac{5}{2}=HA^{2}=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^{2}+\left( y-\dfrac{3}{2}\right)^{2}$
Mặt khác $x+3y-3=0\Rightarrow x=3-3y$. Thay vào trên ta được $y=1$ hoặc $y=2$, tương ứng ta có $x=0$ hoặc $x=-3$. Vậy ta có hai đỉnh hình vuông nằm trên $d_{1}$ là $A(0;1)$ và $B(-3;2)$.
Hai cạnh còn lại của hình vuông lần lượt qua $A$ và $B$ và vuông góc với $d_{1}$ nên lần lượt có phơng trình:
$d_{3}: 3x-y+1=0$ và $d_{4}: 3x-y+7=0$.
Đường chéo qua $A$ và $I$ có phương trình: $\Delta_{1}: x-2y+2=0$
Đường chéo qua $B$ và $I$ có phương trình: $\Delta_{2}: 2x+y+4=0$