Vãi cả BĐT.....:3

Question

Cho $2015$ số dương $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{2015}$.Gọi $S=a_{1}+a_{2}+...+a_{2015}$.CMR:

$\frac{a_{1}}{S-a_{1}}+\frac{a_2}{S-a_2}+...+\frac{a_{2015}}{S-a_{2015}}\geq \frac{2015}{2014}$.

tran85295 · Answer 1 · 1/5/2016 2:16:33 PM

Áp dụng bđt $Bunhiacopxki:S^2=(a_1+a_2+...+a_{2015})^2 \le 2015(a_1^2+a_2^2+...a_{2015}^2)$

$\Rightarrow a_1^2+a_2^2+...a_{2015}^2 \ge \frac{S^2}{2015}$

Áp dụng bđt $Cauchy-Schwarz$, ta có :

$VT=\frac{a_1^2}{a_1.S-a_1^2}+\frac{a_2^2}{a_2.S-a_2^2}+...+\frac{a_{2015}^2}{a_{2015}.S-a_{2015}^2} \ge\frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{(a_1+a_2+...+a_n).S-(a_1^2+a_2^2+...+a_{2015}^2)}$

$ \ge \frac{S^2}{S^2-\frac{S^2}{2015}}= \frac{2015}{2014}$

lịch sử

Sửa 05-01-16 02:16 PM

tran85295
36K 1 37 123

10M 559K

2 4

Trả lời 05-01-16 02:12 PM

tran85295
36K 1 37 123

10M 559K

2 4

dolaemon · Answer 2 · 1/5/2016 10:26:29 AM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Bđt Svacxo:$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\geq \frac{n^2}{x_1+x_2+...+x_n}$
(có thể chứng minh bằng bđt bunhiacopxki)
$VT+2015=(\frac{a_1}{S-a_1}+1)+...+(\frac{a_{2015}}{S-a_{2015}}+1)$
$=S\left ( \frac{1}{S-a_1}+...+\frac{1}{S-a_{2015}} \right )\geq S.\frac{2015^2}{2014S}=\frac{2015^2}{2014}$
suy ra $VT\geq \frac{2015}{2014}$

Trả lời 05-01-16 10:26 AM

dolaemon
8K 13 28

154K 158K

2