5000 sò

Question

Bài 1:cho a, b, c là các số dương. CMR: T= ((a/3a+b+c)+(b/3b+a+c)+(c/3c+a+b)) bé hơn hoặc bằng 3/5

Bài 2: Cho a, b, c > 0 và a+b+c<1. CMR: ((1/a^2+2bc)+(1/b^2+2ac)+(1/c^2+2ab)) lớn hơn hoặc bằng 9

Vô Danh · Answer 1 · 12/9/2015 9:36:59 PM

Đặt $x = 3a + b + c; y = 3b + a + c; z = 3c + b + a $

Ta có:

$x + y + z = 5a + 5b + 5c = 5( a + b + c ) $

Lại có $a + b + c = x - 2a = y - 2b = z - 2c $

$=> x + y + z = 5( x - 2a ) = 5( y - 2b ) = 5( z - 2c ) $

$=> 4x - ( y + z ) = 4( 3a + b + c ) - ( 4b + 4c + 2a ) = 10a$

$4y - ( x + z ) = 10b $

$4z - ( x + y ) = 10c $

Đặt $a/( 3a + b + c ) + b/( 3b + a + c ) + c/( 3c + b + a ) = A $

Ta có

$10A = ( 4x - ( y + z ))/x + ( 4y - ( x + z ))/y + ( 4z - ( x + y ))/z $

$<=> 10A = 12 - ( y + z )/x - ( x + z )/y - ( x + y )/z $

$<=> 10A = 12 - ( y/x + z/x + x/y + z/y + x/z + y/z ) $

Cô si cho từng cặp số ta có

$10A ≤ 12 - 6 = 6 $

$=> A ≤ 3/5 $

=> đpcm

Dấu = xảy ra khi

$x = y = z $

$<=> 3a + b + c = 3b + a + c = 3c + a + b $

$<=> a = b = c$