TH1 min{a,b,c,d}>112Có 11+3a2≥52−48a49⇔(2a−1)2(12a−1)≥0 (luôn đúng)
Tương tự với b,c,d rồi cộng lại ⇒ đpcm
TH2 min{a,b,c,d}≤112
Giả sử d=min{a,b,c,d}⇒d∈[0;112]
11+3a2≥−36x+4549⇔(3x−2)2(12x+1)≥0 (luôn đúng)
Tương tự với b,c rồi cộng lại, ta có
VT≥−36(a+b+c)+13549+11+3d2=−36(2−d)+13549+11+3d2
=108d3+189d2+36d+112(1+3d2).49
Mà =108d3+189d2+36d+112(1+3d2).49≥167⇔d(36d2−49d+12)≥0 (đúng ∀d∈[0112])
⇒đpcm
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=d=12 ; a=b=c=23;d=0 hoặc các hoán vị