TH1 minCó \frac 1{1+3a^2} \ge \frac{52-48a}{49} \Leftrightarrow (2a-1)^2(12a-1) \ge 0 (luôn đúng)
Tương tự với b,c,d rồi cộng lại \Rightarrow đpcm
TH2 \boxed {\min \{a,b,c,d\} \le \frac 1{12}}
Giả sử d = \min \{a,b,c,d \}\Rightarrow d \in [0;\frac 1{12}]
\frac 1{1+3a^2}\ge \frac{-36x+45}{49}\Leftrightarrow (3x-2)^2(12x+1) \ge 0 (luôn đúng)
Tương tự với b,c rồi cộng lại, ta có
VT \ge \frac{-36(a+b+c)+135}{49}+\frac{1}{1+3d^2}=\frac{-36(2-d)+135}{49}+\frac{1}{1+3d^2}
=\frac{108d^3+189d^2+36d+112}{(1+3d^2).49}
Mà =\frac{108d^3+189d^2+36d+112}{(1+3d^2).49} \ge \frac {16}7\Leftrightarrow d(36d^2-49d+12) \ge 0 (đúng \forall d \in [0\frac 1{12}])
\Rightarrow đpcm
Đẳng thức xảy ra khi \boxed{a=b=c=d=\frac 12} ; \boxed{a=b=c= \frac 23;d=0} hoặc các hoán vị