$\begin{cases}x^3+3y=y^3+3x \\ x^2+3y^2=1 \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}x^3-y^3=3(x-y)(x^2+3y^2) \\ x^2+3y^2=1 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}2x^3-3x^2y+9xy^2-8y^3=0 \\ x^2+3y^2=1 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}(x-y)(2x^2-xy+8y^2)=0 \\ x^2+3y^2=1 \end{cases}$
$\Rightarrow $ OK...