$\begin{cases}x+2ax=b \\ ax+(1-a)y=b^2 \end{cases}$
Điều kiện cần:
Giả sử hệ phương trình có nghiệm với mọi $a,$ thay $a=-\frac{1}{2}$, ta được:
$\begin{cases}b=0 \\ -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=b^2 \end{cases}$
Do đó điều kiện cần là $b=0.$
Điều kiện đủ:
Với $b=0,$ ta có hệ:
$\begin{cases}x+2ax=0 \\ ax+(1-a)y=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=0 \\ y=0 \end{cases}$
Hệ này luôn có nghiệm $(x;y)=(0;0)$
Vậy: $\color{red}{b=0}$ là điều kiện cần và đủ để hệ phương trình có nghiệm $\forall a \in \mathbb R.$