Tìm giá trị nhỏ nhất

Question

Cho ba số thực a,b,c đôi một phân biệt và thỏa mãn các điều kiện

$a+b+c=1$ và

$ab+bc+ca >0$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\begin{matrix} P=2(\sqrt{\frac{2}{(a-b)^{2}}+\frac{2}{(b-c)^{2}}}+\frac{1}{\left| {c-a} \right|})+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}} & \\ & \end{matrix}$

๖ۣۜDevilღ · Answer 1 · 8/4/2015 10:45:45 PM

áp dụng Bđt Cauchy Schwarz ta có

$2\left ( \sqrt{\frac{2}{(a-b)^2}+\frac{2}{(b-c)^2}}+\frac{1}{|c-a|} \right )+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca} }\geq \frac{2}{|a-b|}+\frac{2}{|b-c|}+\frac{2}{|c-a|}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca} }$

giải sử

$a>b>c$ khi đó

$P\geq \frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{a-c}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca} }$

ta có

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}\geq \frac{2\sqrt{2} }{\sqrt{x^2+y^2} }$ với

$x,y>0$

$\Rightarrow P\geq \frac{8}{a-c}+\frac{2}{a-c}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca} }=\frac{10}{a-c}+\frac{10}{2\sqrt{ab+bc+ca} }\geq \frac{20\sqrt{2} }{\sqrt{(a-c)^2+4(ab+bc+ca} }=\frac{20\sqrt{2} }{\sqrt{(a+c)^2+4b(a+c)} }$