Đặt $VT=f(a,b,c)$ ta sẽ chứng minh $VT\leq f(a,t,t)$ trong đó $t=\frac{b+c}{2}$.Xét hiệu sau:$(b^2+2)(c^2+2)-[\frac{(b+c)^2}{4}+2]^2=-\frac{(b-c)^2}{16}(b^2+6bc+c^2-16)$
Không mất tính tổng quát giả sử:$c\geq a\geq b\Rightarrow c\geq 2,a\leq 2$
Ta có:$b^2+6bc+c^2-16\geq c^2+6c-15\geq 1>0(b\geq 1)$
Do đó thì $(b^2+2)(c^2+2)\leq (t^2+2)^2\Rightarrow VT\leq (t^2+2)^2(a^2+2)=(t^2+2)^2[(6-2t)^2+2]$
Hàm trên là hàm 1 biến với $t=\frac{b+c}{2}\in [2;\frac{5}{2}]$