Bất đẳng thức (33)

Question

Cho

$a,b,c \geq 1$ thỏa mãn

$a+b+c=6.$ Chứng minh rằng:

$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\leq 216.$

WhjteShadow · Answer 1 · 1/24/2015 3:30:35 PM

Tổng quát cho mọi bài dạng:

$(a^2+k)(b^2+k)(c^2+k)$

Trả lời 24-01-15 03:30 PM

WhjteShadow
6K 8 17

134K 97K

6 1

WhjteShadow · Answer 2 · 1/24/2015 3:24:59 PM

Đặt

$VT=f(a,b,c)$ ta sẽ chứng minh

$VT\leq f(a,t,t)$ trong đó

$t=\frac{b+c}{2}$ .Xét hiệu sau:

$(b^2+2)(c^2+2)-[\frac{(b+c)^2}{4}+2]^2=-\frac{(b-c)^2}{16}(b^2+6bc+c^2-16)$

Không mất tính tổng quát giả sử:

$c\geq a\geq b\Rightarrow c\geq 2,a\leq 2$

Ta có:

$b^2+6bc+c^2-16\geq c^2+6c-15\geq 1>0(b\geq 1)$

Do đó thì

$(b^2+2)(c^2+2)\leq (t^2+2)^2\Rightarrow VT\leq (t^2+2)^2(a^2+2)=(t^2+2)^2[(6-2t)^2+2]$

Hàm trên là hàm 1 biến với

$t=\frac{b+c}{2}\in [2;\frac{5}{2}]$

Trả lời 24-01-15 03:24 PM

WhjteShadow
6K 8 17

134K 97K

6 1

chỉ giáo ta dạng này đi – Wade 24-01-15 11:00 PM

2 Đáp án