Không mất tính tổng quát ta giả sử: $a\leq b\leq c\leq d$Ta có $P=\frac{a}{1+bcd}+\frac{b}{1+acd}+\frac{c}{1+abd}+\frac{d}{1+abc}$
$\leq \frac{1}{1+abcd}\sum a $
Do $d,b,c,d\in[0;1]$ nên:
$(1-ab)(1-cd)+(1-a)(1-b)+(1-c)(1-d)\geq 0$
$\Rightarrow \sum a \leq 3+abcd\leq 3(1+abcd)$
$\Rightarrow P\leq 3$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=0;b=c=d=1$ và hoán vị cho nhau