Chứng minh bất đẳng thức

Question

Cho x,y,z > 0.Chứng minh rằng

$\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+z+x}+\frac{z}{2z+x+y}\leq \frac{3}{4}$

WhjteShadow · Answer 1 · 12/17/2014 9:58:26 PM

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\frac{y+z}{2x+y+z}+\frac{x+z}{2y+x+z}+\frac{x+y}{2z+x+y}\geq \frac{3}{2}$

Áp dụng BĐT Svac ta có

$VT\geq\frac{4(x+y+z)^2}{2x(y+z)+(y+z)^2+2y(x+z)+(x+z)^2+2z(x+y)+(x+y)^2}\geq \frac{3}{2}$

Mẫu =

$2(x^2+y^2+z^2)+6(xy+yz+xz)$

Ta cần chứng minh

$8(x+y+z)^2\geq 6(x^2+y^2+z^2)+18(xy+yz+xz)\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)\geq 0$

Mà

$x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz$ nên ta có đpcm

Trả lời 17-12-14 09:58 PM

WhjteShadow
6K 8 17

134K 97K

6 1

hê hê cảm ơn c nhà..xem cho t bài tính giá trị LN,NN với :( – Mai Hạnh 17-12-14 10:08 PM

bài t thì éo làm – Wade 17-12-14 09:58 PM

1 Đáp án