giải bất đẳng thức bằng cân bằng hệ số

Question

Cho các số thực dương

$a,b,c$ thỏa mãn:

$a+b^2+c^3=\frac{325}{9}$ .Tìm Min của

$B=a^2+b^3+c^4$ . Rồi đó bạn

WhjteShadow · Answer 1 · 12/2/2014 9:30:23 PM

Đầu tiên ta giả sử rằng P đạt giá trị nhỏ nhất tại

$a=x,b=y,c=z$ .Khi đó ta phải có:

$x+y^2+z^3=\frac{325}{9}$ .Bây giờ sử dụng BĐT AM-GM ta có:

$a^2+x^2\geq 2ax, b^3+b^3+y^3\geq 3yb^2, c^4+c^4+c^4+z^4\geq 4zc^3$

$\Rightarrow a^2+x^2\geq 2ax,\frac{1}{2}(2b^3+y^3)\geq \frac{3}{2}.yb^2,\frac{1}{3}(3c^4+z^4)\geq \frac{4}{3}zc^3$

Cộng lại thì có ngay:

$a^2+b^3+c^4\geq (2ax+\frac{3}{2}yb^2+\frac{4}{3}zc^3)-x^2-\frac{y^3}{2}-\frac{z^4}{3}$

Phải chon

$x,y,z$ sao cho

$2x=\frac{3y}{2}=\frac{4z}{3}$ và

$x+y^2+z^3=\frac{325}{9}$

Giải ra sẽ tìm được:

$x=2,y=\frac{8}{3},z=3$ thay vào sẽ tìm đc Min =

$\frac{2807}{27}$

1 Đáp án