Đầu tiên ta giả sử rằng P đạt giá trị nhỏ nhất tại $a=x,b=y,c=z$.Khi đó ta phải có:$x+y^2+z^3=\frac{325}{9}$.Bây giờ sử dụng BĐT AM-GM ta có:
$a^2+x^2\geq 2ax, b^3+b^3+y^3\geq 3yb^2, c^4+c^4+c^4+z^4\geq 4zc^3$
$\Rightarrow a^2+x^2\geq 2ax,\frac{1}{2}(2b^3+y^3)\geq \frac{3}{2}.yb^2,\frac{1}{3}(3c^4+z^4)\geq \frac{4}{3}zc^3$
Cộng lại thì có ngay:
$a^2+b^3+c^4\geq (2ax+\frac{3}{2}yb^2+\frac{4}{3}zc^3)-x^2-\frac{y^3}{2}-\frac{z^4}{3}$
Phải chon $x,y,z$ sao cho $2x=\frac{3y}{2}=\frac{4z}{3}$ và $x+y^2+z^3=\frac{325}{9}$
Giải ra sẽ tìm được:$x=2,y=\frac{8}{3},z=3$ thay vào sẽ tìm đc Min =$\frac{2807}{27}$