Ta viết lại $\sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+8}=3\sqrt[3]{x}-2$Nhận thấy: $VT>0,\forall x$ nên $3\sqrt[3]{x}-2>0\Leftrightarrow x>\frac{8}{27}$
Ta xét hàm số $f(x)=\sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+8}$ trên khoảng $(\frac{8}{27};+\infty )$ thì
$f'(x)=x(\frac{1}{\sqrt{x^2+15}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+8}})<0,\forall x\in (\frac{8}{27};+\infty )$
$\Rightarrow $ Hàm số f nghịch biến trên khoảng $(\frac{8}{27};+\infty )$
Xét hàm số $g(x)=3\sqrt[3]{x}-2$ trên khoảng $(\frac{8}{27};+\infty )$ thì
$g'(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}>0,\forall x\in (\frac{8}{27};+\infty )$
$\Rightarrow $ Hàm số g đồng biến trên khoảng $(\frac{8}{27};+\infty )$
Mà $f(x)=g(x)$ khi $x=1$
Vậy $x=1$ là nghiệm duy nhất