Cần chứng minh $\Delta=b^2−4ac$ không là số chính phương.
Giả sử $\Delta=b^2−4ac=m^2\;(m\in\mathbb{N})$. Dễ thấy $m<b$.
Ta có: $4a.\overline{abc}=(20a+b)^2−(b^2−4ac)=(20a+b+m)(20a+b−m)$.
Do đó: $\overline{abc}\mid 20a+b+m$ hoặc $\overline{abc}\mid 20a+b−m$.
Mặt khác, dễ chứng minh được: $0<20a+b−m\le20a+b+m<\overline{abc}$.
Do đó dẫn đến điều vô lý, từ đó suy ra điều phải chứng minh.