Hệ phương trình.

Question

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

$\begin{cases}x+y=2\\\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{y^4}=2\end{cases}$

WhjteShadow · Answer 1 · 11/4/2014 9:44:45 PM

Từ PT(2) quy đồng có:

$A=\frac{x^4+y^4}{x^4.y^4}=2$

Với đk đã cho:

$x+y=2$ .Ta đi CM

$A\geq2$

Có bđt sau:

$2(x^4+y^4)\geq (x^2+y^2)^2$ .Chứng minh bằng biến đổi tương đương,dấu bằng khi

$x^2=y^2$ Vậy

$A\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2x^4.y^4}$

Có

$x^2+y^2\geq 2xy$ (hằng đẳng thức )

$\Rightarrow A\geq \frac{2}{x^2.y^2}$

Mà

$4xy\leq (x+y)^2=4$ (hđt).Vậy

$A\geq2$ dấu = có khi

$x=y=1$

Trả lời 04-11-14 09:44 PM

WhjteShadow
6K 8 17

134K 97K

6 1

Dép Lê Con Nhà Quê · Answer 2 · 11/4/2014 12:06:36 PM

ĐIều kiện

$x; \ y \ne 0$

Pt2 đưa về

$x^4 +y^4 = 2(xy)^4$

$\Leftrightarrow \bigg [ (x+y)^2-2xy \bigg ]^2 -2(xy)^2 =2(xy)^4$ thế pt1 vào được

$(4-2xy)^2-2(xy)^2=2(xy)^4$ đặt

$xy=t$ ta có

$2t^4-2t^2+16t-16=0$

$\Leftrightarrow 2 (t-1) (t^3+t^2+8) = 0$ cái pt bậc 3 nghiệm xấu quá, đợi cao thủ giải trọn vẹn

Trả lời 04-11-14 12:06 PM

Dép Lê Con Nhà Quê
37K 3 10 14

864K 224K

2

2 Đáp án