Bất đẳng thức.

Question

Cho hai số thực dương

$a;\,b.$ Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{a}{b}+ab^2\ge\sqrt{3\left(1+a^2+b^2\right)}$

WhjteShadow · Answer 1 · 10/31/2014 8:41:01 PM

Bài này có khá nhiều cách giải nhưng đơn giản nhất vẫn là biến đổi tương đương+bất đẳng thức AM-GM,bình phương 2 vế ta được,bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:

$a^2b^4+\frac{a^2}{b^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b}+2a^2b\geq 3+3a^2+b^2$

Theo AM-GM thì:

$a^2b^4+\frac{1}{a^2}\geq 2b^2,2(\frac{a^2}{b^2}+a^2.b+a^2.b)\geq 6a^2,4.\frac{1}{b}+a^2b^4+\frac{1}{a^2}\geq 6(6 số)$

Cộng các bất đẳng thức trên lại thì được:

$2(a^2b^4+\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b}+2a^2b+\frac{a^2}{b^2})\geq 2(3+3a^2+b^2)$

Do đó có đpcm dấu bằng xảy ra khi

$a=b=c=1$

Trả lời 31-10-14 08:41 PM

WhjteShadow
6K 8 17

134K 97K

6 1

Hỏi	31-10-14 11:37 AM
Lượt xem	863
Hoạt động	31-10-14 08:41 PM

Bất đẳng thức.

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Bất đẳng thức.

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan