Ta có: $a^3=2-b^3>-b^3 \Rightarrow a>-b \Rightarrow a+b>0$
Khi đó ta có:
$(a+b)(a-b)^2\ge0$
$\Leftrightarrow a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$
$\Leftrightarrow 4(a^3+b^3)\ge (a+b)^3$
$\Rightarrow (a+b)^3\le 8$
$\Rightarrow a+b\le 2$
Vậy $\max N=2 \Leftrightarrow a=b=1$.