1. Không mất tính tổng quát, giả sử: $a\le b\le c \Rightarrow 1\le a\le2;2\le c\le3$.
Ta có:
$(a-1)(a-2)\le0 \Leftrightarrow a^2\le3a-2$
$(c-2)(c-3)\le0 \Leftrightarrow c^2\le5c-6$
*) Nếu $1\le b\le 2 \Rightarrow b^2\le3b-2$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le 3(a+b+c)+2c-10\le3.6+2.3-10=14$
*) Nếu $2\le b\le 3 \Rightarrow c^2\le5c-6$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le 5(a+b+c)-2a-14\le5.6-2.1-14=14$
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi: $a=1;b=2;c=3$.