Chứng minh hệ thức(sử dụng trực tiếp khai triển (a+b)^n)

Question

$C^{0}_{2n}+C^{2}_{2n}\times 3^{2}+C^{4}_{2n}\times 3^{4}+...+C^{2n}_{2n}\times 3^{2n}=2^{2n-1}\times (2^{2n}+1)$

Dép Lê Con Nhà Quê · Answer 1 · 10/3/2014 9:39:24 PM

Xét

$(x+1)^{2n} = C_{2n}^0+x C_{2n}^1+x^2C_{2n}^2+x^3C_{2n}^3+ x^4C_{2n}^4-\dots + x^{2n} C_{2n}^{2n}$

Xét

$(x-1)^{2n} = C_{2n}^0-x C_{2n}^1+x^2C_{2n}^2-x^3C_{2n}^3+x^4C_{2n}^4- \dots + x^{2n} C_{2n}^{2n}$

$\Rightarrow (x+1)^{2n}+(x-1)^{2n} = 2\bigg (C_{2n}^0+x^2C_{2n}^2+x^4C_{2n}^4+ \dots + x^{2n} C_{2n}^{2n} \bigg )$

Thay

$x=3$ ta được

$2^{4n}+2^{2n}=2\bigg (C_{2n}^0+3^2C_{2n}^2+3^4C_{2n}^4+ \dots + 3^{2n} C_{2n}^{2n} \bigg )$

$\Rightarrow C_{2n}^0+3^2C_{2n}^2+3^4C_{2n}^4+ \dots + 3^{2n} C_{2n}^{2n} =2^{2n-1}.(2^{2n}+1)$

1 Đáp án