Bất Đẳng Thức@!!!!!!!!!!!!!!!!

Question

(?) Cho

$a \geq 0, b \geq 0$ ...

a. CMR:

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\geq\sqrt{2(a^2+b^2)}$

b.CMR:

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+7(a+b)\geq 8.\sqrt{2(a^2+b^2)}$

WhjteShadow · Answer 1 · 10/2/2014 8:20:56 PM

Câu 1:ĐK

$a,b >0$

a.Chứng minh

$a^3+b^3\geq ab\sqrt{2(a^2+b^2)}$

Có

$a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)(1)$

Có

$ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}\Rightarrow (2)\geq (a+b).(\frac{a^2+b^2}{2})$

Mà

$a+b\geq2\sqrt{ab}\Rightarrow(2)\geq \sqrt{ab}(a^2+b^2)$

Ta chứng minh

$(a^2+b^2).\sqrt{ab}\geq ab\sqrt{2(a^2+b^2)}$

$\Leftrightarrow \sqrt{ab}\sqrt{a^2+b^2}(\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{2ab})\geq 0$

Mà

$a^2+b^2\geq 2ab$ nên hiển nhiên bđt trên là đúng vấy bđt ban đầu đúng nên chia 2 vế của bđt ban đầu cho

$ab$ ta được đpcm.

Câu 2 tương tự

Trả lời 02-10-14 08:20 PM

WhjteShadow
6K 8 17

134K 97K

6 1

1 Đáp án