Giả sử $d$ là công sai của CSC trên thì ta có:$u_m=u_1+(m-1).d;u_n=u_1+(n-1).d$Vì $\frac{u_m}{u_n}=\frac{m}{n}$ nên ta có:$\frac{u_1+(m-1).d}{u_1+(n-1).d}=\frac{m}{n}$
$\Rightarrow n.u_1+n(m-1).d=mu_1+m(n-1).d$
$\Leftrightarrow (n-m).u_1+d.(nm-n-nm+m)=0$
$\Leftrightarrow (n-m)(u_1-d)=0$
Do $n\neq m$ nên $u_1=d$
Từ đó có $Sm=d+2d+...+md;Sn=d+2d+...+nd$
$\Rightarrow Sm=d(1+2+...+m);Sn=d(1+2+...+n)$
$\Rightarrow \frac{Sm}{Sn}=\frac{1+2+...+m}{1+2+...+n}$
Ta tính được $1+2+...+m=\frac{m(m+1)}{2};1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$
$\Rightarrow \frac{Sm}{Sn}=\frac{m(m+1)}{n(n+1)}$