đề thi hsg

Question

1, Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, đều có:

$5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n)$ chia hết cho 91

2, Cho x,y là 2 số nguyên dương thỏa mãn: xy=1. Tính GTLN của:

$M=\dfrac{x}{x^4+y^2}+\dfrac{y}{x^2+y^4}$

3,Chứng minh rằng vơi mọi a,b,c là các số nguyên không âm:

$3\leq\dfrac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\dfrac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\dfrac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\leq3+a+b+c$

4,Cho phương trình: $x^2-2 |x|+1-4a^2=0$

a, Giải phương trình khi a=1

b, Tìm a để phương trình có 4 nghiệm: $x_1;x_2;x_3;x_4$

khi đó tồn tại hay không giá trị lớn nhất của:

$S=(x_1)^2+(x_2)^2+(x_3)^2+(x_4)^2$

khangnguyenthanh · Answer 1 · 9/14/2014 10:47:33 AM

1. Ta có: $A=5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n)=25^n+5^n-18^n-12^n$

$25^n\equiv 18^n\;($mod $7);5^n\equiv 12^n\;($mod $7) \Rightarrow A\equiv 0\;($mod $7)$

$25^n\equiv 12^n\;($mod $13);5^n\equiv 18^n\;($mod $13) \Rightarrow A\equiv 0\;($mod $13)$

Mà $(7;13)=1$, suy ra: $A\equiv 0\;($mod $91)$

Trả lời 14-09-14 10:47 AM

khangnguyenthanh
72K 2 480 42

332K 4M

1

1 Đáp án