Phương trình bậc 2

Question

số đo hai cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông là hai nghiệm $x_{1}; x_{2} $ của phương trình bậc hai: $(m-2)x^{2}-2(m-1)x+m=0 $ (*).

a. Hãy xác định giá trị của m để số đo đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác là $\frac{2}{\sqrt{5}}$.

b. Tìm hệ thức liên hệ giữa $x_{1}$ và $x_{2}$ không phụ thuộc vào tham số m.

onthitoan.com · Answer 1 · 8/29/2014 12:05:25 PM

Áp dụng định lý Vi-et ta có: $\begin{cases}S=x_{1}+x_{2}=\dfrac{2(m-1)}{m-2} \\ P=x_{1}x_{2}=\dfrac{m}{m-2}\end{cases}$ với điều kiện $m\neq 2$

a) Gọi đường cao có giá trị $h$. Khi đó độ dài cạnh huyền là $\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}$. Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

$h\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}=x_{1}x_{2}\Rightarrow h=\dfrac{x_{1}x_{2}}{\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}}$

$\Rightarrow h^{2}=\dfrac{\dfrac{m^{2}}{(m-2)^{2}}}{\dfrac{4(m-1)^{2}}{(m-2)^{2}}-2\dfrac{m}{m-2}}$

$=\dfrac{m^{2}}{(m-2)^{2}}.\dfrac{(m-2)^{2}}{4(m-1)^{2}-2m(m-2)}=\dfrac{m^{2}}{4-4m}$

$h=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\Rightarrow h^{2}=\dfrac{4}{5}$

$\Rightarrow \dfrac{m^{2}}{4-4m}=\dfrac{4}{5}\Rightarrow 5m^{2}+16m+16=0$

Giải phương trình trên được $m=-4$ hoặc $m=\dfrac{4}{5}$
b) Từ trên có: $\begin{cases}S=x_{1}+x_{2}=\dfrac{2(m-1)}{m-2}\quad (1) \\ P=x_{1}x_{2}=\dfrac{m}{m-2}\quad (2)\end{cases}$

$(2)\Rightarrow m=x_{1}x_{2}(m-2)\Rightarrow m=\dfrac{2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}-1}$

Thay vào $(1)$ ta có: $x_{1}+x_{2}=\dfrac{2\left( \dfrac{2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}-1}\right)-1}{\dfrac{2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}-1}-1}$

$\Rightarrow x_{1}+x_{2}=\dfrac{\dfrac{2(2x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2}+1)}{x_{1}x_{2}-1}}{\dfrac{2x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{2}+2}{x_{1}x_{2}-1}}$

$\Rightarrow x_{1}+x_{2}=\dfrac{2(x_{1}x_{2}+1)}{x_{1}x_{2}-1}.\dfrac{x_{1}x_{2}-1}{2}=x_{1}x_{2}+1$

Vậy $x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}=1$ là biểu thức liên hệ giữa $x_{1}, x_{2}$ không phụ thuộc vào $m$