a. Ta cần bài toán phụ sauNếu $x\in (0,\dfrac{\pi}{2})$ thì $\tan x >x$
Chứng minh : Đặt $f(x)=\tan x-x\Rightarrow f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}-1>0;\forall x\in (0,\dfrac{\pi}{2})$
Vậy $f(x)$ đồng biến trên $(0,\dfrac{\pi}{2})\Rightarrow f(x)>f(0)=0$
$\Rightarrow \tan x>x$
Trở lại với bài toán ban đầu
Đặt $g(x)=\tan x-x-\dfrac{x^3}{3}$
$\Rightarrow g'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}-1-x^2=\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}-x^2=\tan^2x-x^2>0$ (Theo bt phụ)
Vậy $g(x)$ đồng biến trên $(0,\dfrac{\pi}{2})\Rightarrow g(x)>g(0)=0$
$\Rightarrow \tan x>x+\dfrac{x^3}{3}$