Nhận thấy hệ có nghiệm $x=y=z=0$.
Xét $x,y,z \ne 0$. Khi đó phương trình thứ nhất tương đương với
$\dfrac{3x^2+x+1}{x^2}=\left(\dfrac{y+z}{yz}\right)^2$
$\Leftrightarrow 3+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2$
$\Leftrightarrow 3+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{yz}\qquad(1)$
Tương tự với hai phương trình còn lại của hệ, ta cũng có:
$3+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xz}\qquad(2)$
$3+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{2}{xy}\qquad(3)$
Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế rồi biến đổi ta được:
$\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)-9=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1+\sqrt{37}}{2}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1-\sqrt{37}}{2}\end{array}\right.$
Đến đây thế vào các phương trình ban đầu để tìm $x,y,z$.