hoán vị vòng $x^{2}(y+z)^{2}=(3x^{2}+x+1)y^{2}z^{2}$

Question

$\left\{\begin{matrix} x^{2}(y+z)^{2}=(3x^{2}+x+1)y^{2}z^{2} \\ y^{2}(x+z)^{2}=(3y^{2}+y+1)x^{2}z^{2} \\ z^{2}(y+x)^{2}=(3z^{2}+z+1)y^{2}x^{2} \end{matrix}\right.$

khangnguyenthanh · Answer 1 · 7/29/2014 1:57:54 PM

Nhận thấy hệ có nghiệm

$x=y=z=0$ .

Xét

$x,y,z \ne 0$ . Khi đó phương trình thứ nhất tương đương với

$\dfrac{3x^2+x+1}{x^2}=\left(\dfrac{y+z}{yz}\right)^2$

$\Leftrightarrow 3+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2$

$\Leftrightarrow 3+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{yz}\qquad(1)$

Tương tự với hai phương trình còn lại của hệ, ta cũng có:

$3+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xz}\qquad(2)$

$3+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{2}{xy}\qquad(3)$

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế rồi biến đổi ta được:

$\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)-9=0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1+\sqrt{37}}{2}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1-\sqrt{37}}{2}\end{array}\right.$

Đến đây thế vào các phương trình ban đầu để tìm

$x,y,z$ .