Giải phương trình $x^{3}+\sqrt{\left(1-x^{2} \right)^{3}}=x\sqrt{2\left(1-x^{2} \right)}$

Question

Giải phương trình

$x^{3}+\sqrt{\left(1-x^{2} \right)^{3}}=x\sqrt{2\left(1-x^{2} \right)}$

Dép Lê Con Nhà Quê · Answer 1 · 6/9/2014 4:23:17 PM

Một bài toán hay

Đặt

$x=a;\ \sqrt{1-x^2} = b \ge 0$ ta có

$a^2 + b^2 = 1$

Theo bai ra ta có

$a^3 + b^3 = ab .\sqrt 2 \ (*)$

Đặt

$a+ b = t \Rightarrow (a+b)^2 = t^2 \Rightarrow a^2 + b^2 + 2ab=t^2\Rightarrow ab=\dfrac{t^2-1}{2}$

Mặt khác

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2 +b^2 -ab)= t .( 1-\dfrac{t^2-1}{2})$

Thay hết vào

$(*)$ ta được

$t .( 1-\dfrac{t^2-1}{2})=\sqrt 2 . \dfrac{t^2-1}{2}$

$\Leftrightarrow t^3 +\sqrt 2 t^2 -3t-\sqrt 2 = 0$

$(t-\sqrt 2)(t+1+\sqrt 2)(t-1+\sqrt 2)=0$

Dễ quá rồi

Trả lời 09-06-14 04:23 PM

Dép Lê Con Nhà Quê
37K 3 10 14

864K 224K

2

1 Đáp án